已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點，P為橢圓上一點且
PF1
•
PF2
=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是（　�。�
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]
分析：設(shè)P（m，n ），由
PF1
•
PF2
=c2得到n2=2c2-m2  ①．把P（m，n ）代入橢圓得到 b2m2+a2n2=a2b2  ②，把①代入②得到 m2 的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得
c
a
的范圍．
解答：解：設(shè)P（m，n ），
PF1
•
PF2
=c2=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2，
∴m2+n2=2c2，n2=2c2-m2  ①．
把P（m，n ）代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1得  b2m2+a2n2=a2b2  ②，
把①代入②得 m2=
a2b2-2a2c2
b2-a2
≥0，∴a2b2≤2a2c2，
 b2≤2c2，a2-c2≤2c2，∴
c
a
≥
3
3
．
又  m2≤a2，∴
a2b2-2a2c2
b2-a2
≤a2，∴
a2(a2-2c2)
b2-a2
≤0，
a2-2c2≥0，∴
c
a
≤
2
2
．
綜上，
3
3
≤
c
a
≤
2
2
，
故選 C．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1作傾斜角為θ的動直線l交橢圓于A，B兩點．當(dāng)θ=
π
4
時，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求橢圓的離心率及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABF2面積的最大值，并求出使面積達(dá)到最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F1作傾斜角為60° 的直線l交橢圓于A，B兩點，ABF2的內(nèi)切圓的半徑為
2
3
7
c
（I）求橢圓的離心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，雙曲線C1和圓C2：x2+y2=c2的一個交點為P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么雙曲線C1的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0） （c＞0）是橢圓的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，圓M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圓M上的任意一點，求證：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=
34
2
，求橢圓的方程．

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