Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，∠ABC=30°，PA=AB．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線PC與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據面面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）根據線面所成角的定義，先確定∠PCA為直線PC與平面ABC所成角，然后進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴PA⊥面ABC
∵BC?面ABC，PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，AC⊥BC，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∵BC⊥面PAC，BC?面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，AC?面ABC，
∴AC是PC在底面上的射影，
∴∠PCA為直線PC與平面ABC所成角，
∴直線PC與平面ABC所成角的正切值tan∠PCA=

PA

AC

為直線PC與平面ABC所成角．
∵∠ABC=30°，PA=AB．
∴AC=

1

2

AB=

1

2

PA，
即PA=2AC，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

2AC

AC

=2．

點評：本題主要考查面面垂直的判定和直線和平面所成角的大小，利用面面垂直的判定定理，和線面所成角的求法是解決本題的關鍵．