設雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
(1) (2)  （3）是，理由見解析

試題分析：
(1)根據(jù)題意已知,則利用雙曲線a,b,c之間的關系與離心率的定義即可求出的值,進而得到雙曲線的標準方程.
(2)根據(jù)題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點差法利用弦的中來求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點坐標,再利用直線的點斜式即可求出弦所在直線的方程.
(3)由(2)可得AB直線的方程,聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點的坐標,已知AB線段的斜率與中點即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯(lián)立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點的坐標.
試題解析：
（1）依題意得，解得a=1.                         （1分）
所以，                                    （2分）
故雙曲線C的方程為.                                  （3分）
（2）設，則有 .
兩式相減得： ，             （4分）
由題意得，，，                     （5分）
所以，即.                         （6分）
故直線AB的方程為.                                     （7分）
（3）假設A、B、C、D四點共圓，且圓心為P. 因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M. （8分）
下面只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得：A（-1，0），B（3，4）.                         （9分）
由（1）得直線CD方程：，                             （10分）
由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），  （11分）
所以CD的中點M（-3，6）.                                      （12分）
因為，，
，，            （13分）
所以，
即 A、B、C、D四點在以點M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上.  （14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點為，短軸的一個端點到的距離等于焦距.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為和，且||=2，
點（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側的一點，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點的坐標；
（2）過點作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O,橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
（1）設、為兩個定點，為非零常數(shù)，，則動點的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的前項和，則必有；
（3）若的最小值為2；
（4）雙曲線有相同的焦點；
（5）平面內到定點（3，-1）的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是拋物線.
其中正確命題的序號是               .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；
(3)設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2,過F1作垂直于橢圓長軸的弦PQ,|PQ|為3.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案