Question

如圖，設點上的動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別是A、B．已知圓C₁的圓心M在拋物線C₂的準線上．
（I）求t的值；
（Ⅱ）求的最小值，以及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先分別求出圓心坐標和拋物線的準線方程，進而即可得出；
（Ⅱ）設出切線的方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，由相切可得△=0，利用根與系數(shù)的關系及數(shù)量積即可得出，再利用點P在圓上及函數(shù)的導數(shù)即可求出最小值．
解答：解：（Ⅰ）圓C₁的圓心M（0，-1），拋物線C₂的準線為y=-，
∵圓C₁的圓心M在拋物線C₂的準線上，∴，解得t=4．
∴t的值為4．
（Ⅱ）由題意可知：切線PA、PB的斜率都存在，分別為k₁，k₂，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設過點P的拋物線的切線l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）
∵直線l與拋物線相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化為k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此時，x₁=2k₁，；同理，x₂=2k₂，．
∴=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+-
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵點P（m，n）在圓C₁上，∴，∴，代入上式可得
=，
考查函數(shù)f（n）=．
求得f^′（n）==，
令f^′（n）=0，解得或．
當時，f^′（n）＜0，f（n）單調遞減；
當時，f^′（n）＞0，f（n）單調遞增．
∴當時，f（n）取得最小值．
此時對應的點P．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質、直線與圓錐曲線相切問題的解決模式、根與系數(shù)的關系、利用導數(shù)求函數(shù)的最值等是解題的關鍵．