Question

4．某企業(yè)根據(jù)市場需求，決定生產(chǎn)一款大型設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺，需投入成本C（x）萬元，若年產(chǎn)量不足80臺時，C（x）=$\frac{1}{2}$x²+40x萬元，若年產(chǎn)量等于或超過80臺時，C（x）=101x+$\frac{8100}{x}$-2180萬元，每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析該企業(yè)生產(chǎn)的這種設(shè)備能全部售完．
（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系；
（2）年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

分析 （1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500；x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500，即可得出．
（2）由（1）可得：0＜x＜80時，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得y的最大值．x≥80時，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．綜上比較即可得出．

解答 解：（1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+60x-500；
x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$．
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+60x-500，0＜x＜80}\\{1680-（x+\frac{8100}{x}），x≥80}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得：0＜x＜80時，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，
∴x=60時，y取得最大值1300（萬元）．
x≥80時，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$≤1680-2$\sqrt{x×\frac{8100}{x}}$=1500，
當且僅當x=90時取等號．即當x=90時，y取得最大值1500（萬元）．
綜上可得：年產(chǎn)量為90臺時，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大為1500（萬元）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．