Question

若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間[a，b]（a＜b）上函數(shù)值的取值范圍恰好是[

a

2

，

b

2

]，則稱區(qū)間[a，b]是函數(shù)f（x）的有關(guān)減半壓縮區(qū)間，若函數(shù)f（x）=

x-1

+m存在一個(gè)減半壓縮區(qū)間[a，b]（b＞a≥1），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（

  1

  2

  ，1]
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過求導(dǎo)容易判斷f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，所以f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]，所以得到

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，所以方程

x-1

+m=

x

2

有兩個(gè)不等實(shí)根，令

x-1

=t，t≥0，x=t²+1，所以該方程變成t²-2t+1-2m=0，所以這個(gè)關(guān)于t的方程有兩不等實(shí)根，且小根大于等于0，所以得到

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解該不等式組即得m的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x-1

＞0；
∴函數(shù)f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴x∈[a，b]時(shí)，f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]；
∵[a，b]是f（x）的減半壓縮區(qū)間；
∴f（x）∈[

a

2

，

b

2

]；
∴

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，即方程

x-1

+m=

x

2

有兩不等實(shí)根；
令

x-1

=t(t≥0)，x=t²+1，所以該方程變成：
t²-2t+1-2m=0，則關(guān)于t的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且兩根非負(fù)；
∴

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解得0＜m≤

1

2

；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（0，

1

2

]．
故選B．

點(diǎn)評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，一元二次方程的解的情況和判別式△的關(guān)系，以及韋達(dá)定理．