Question

12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F(xiàn)分別為PD，AC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求三棱錐D-EFC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點M，AB的中點N，連結(jié)ME，MN，NF．則利用中位線定理可證四邊形MNFE是平行四邊形，于是EF∥MN，推出EF∥平面PAB；
（2）以CDF為棱錐的底面，則棱錐的高為$\frac{1}{2}PA$，代入體積公式計算即可．

解答 證明（1）取PA的中點M，AB的中點N，連結(jié)ME，MN，NF．
∵M，E是PA，PD的中點，
∴ME$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∵N，F(xiàn)是AB，AC的中點，
∴NF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}BC$．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$BC．
∴NF$\stackrel{∥}{=}$ME，
∴四邊形MNFE是平行四邊形，
∴EF∥MN，又MN?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵F是AC的中點，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{4}$．
∵E是PD的中點，
∴E到平面ACD的距離h=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$．
∴V_D-EFC=V_E-CDF=$\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．