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設定義在R的函數，R. 當時，取得極大值，且函數的圖象關于點對稱.

 （I）求函數的表達式；

 （II）判斷函數的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區(qū)間上，并說明理由；

 （III）設，（），求證：.

（I）.

（II）兩點的坐標分別為或.

（III）見解析


解析:

（I）將函數的圖象向右平移一個單位得到函數的圖象，  

    ∴ 函數的圖象關于點對稱，即為奇函數. 

    ∴.                       ……………………………..2分

    由題意可得，解得.

    ∴.                          ……………………………..4分

   （II）存在滿足題意的兩點.                         ……………………………..6分

由（I）得.

假設存在兩切點，，且.

則.   

∵，∴或，

即或. 

從而可求得兩點的坐標分別為或.

                                                  …………………………….9分

（III）∵當時，，∴ 在上遞減.

 由已知得，∴，即.

                                                  ……………………………..11分

又時，；時，，

 ∴在上遞增，在上遞減.

∵，∴.  

∵，且，

∴.          ……………………………13分

∴.  ………………………..14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③當0≤x＜1時，f（x）=2x-1．則f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R的函數f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，a4∈R，當x=-1時，f（x）取得極大值
2
3
，且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷函數y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區(qū)間[-
2
，
2
]上，并說明理由；
（Ⅲ）設xn=1-2-n，ym=
2
(3-m-1)（m，n∈N+），求證：|f（xn）-f（ym）|＜
4
3
|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R的函數f（x）同時滿足以下條件：
①f（x）+f（-x）=0；
②f（x）=f（x+2）；
③當0≤x＜1時，f（x）=2x-1．
則f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)=（　�。�
A、1
B、2(
2
-1)
C、
2
-1
D、3(
2
-1)

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年度江蘇省連云港市贛榆高級中學高三暑期檢測數學試卷（解析版） 題型：填空題

設定義在R的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③當0≤x＜1時，f（x）=2x-1．則=    ．

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