Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a_n=2a_n-1+n（n≥2，n∈N）．
（1）{a_n}是否可能為等比數(shù)列？若可能，求出此等比數(shù)列的通項公式；若不可能，說明理由；
（2）設b_n=（-1）ⁿ（a_n+n+2），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且對于任意的n∈N^*，n≤10，都有S_n＜1，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a₂，a₃，a₄，假設{a_n}為等比數(shù)列，可知a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，（2a₁+2）²=a₁•（4a₁+7），即可求得a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，a₄=-14，可知{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（2）由題意可知：求得a_n和a_n+1，代入求得b_n+1=-2b_n，由等比數(shù)列通項公式求得S_n=$\frac{-（{a}_{1}+3）[1-（-2）^{n}]}{3}$，分類當n為奇數(shù)和偶數(shù)時，分別求得a₁的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：a_n+1=2a_n+n+1，
得a₂=2a₁+2，a₃=4a₁+7，a₄=8a₁+18，
若{a_n}為等比數(shù)列．則a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴（2a₁+2）²=a₁•（4a₁+7），解得：a₁=-4，
a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，a₄=-14，不成等比數(shù)列，
∴{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（2）∵b_n=（-1）ⁿ（a_n+n+2），
∴a_n=（-1）ⁿb_n-n-2，a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹b_n+1-n-3，
將其代入a_n+1=2a_n+n+1，
（-1）ⁿ⁺¹b_n+1-n-3=2[（-1）ⁿb_n-n-2]+n+1，
整理得：b_n+1=-2b_n，其中b₁=-（a₁+3），
當a₁=-3時，b_n=0，S_n=0符合題意，
當a₁≠-3時，
數(shù)列{b_n}是以b₁=-（a₁+3）為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{-（{a}_{1}+3）[1-（-2）^{n}]}{3}$，
當n為偶數(shù)時，且n≤10時，
由S_n＜1，可得$\frac{-（{a}_{1}+3）（1-{2}^{n}）}{3}$＜1，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1-{2}^{\\;n}}$，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1-{2}^{10}}$，解得：a₁＜-$\frac{1022}{341}$，
當n為奇數(shù)時，且n≤10，
由S_n＜1，$\frac{-（{a}_{1}+3）（1+{2}^{n}）}{3}$＜1，
∴-（a₁+3）＞$\frac{3}{1+{2}^{\\;n}}$，
∴-（a₁+3）＜$\frac{3}{1+{2}^{9}}$，
解得：a₁＞-$\frac{571}{171}$，
綜上，a₁的取值范圍為（-$\frac{571}{171}$，-$\frac{1022}{341}$）

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查數(shù)列與不等式相結(jié)合，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于難題．