Question

設(shè)向量，函數(shù)在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求b_n的表達(dá)式；
（3）c_n=-a_n•b_n，試問數(shù)列{c_n}中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2在[0，1]上為增函數(shù)，知a_n=n+1
（2）由可
（3）由題意知，，由此可知存在k=8，9使得c_n≤c_k對(duì)所有的n∈N*成立
解答：解：（1）∵，
∴函數(shù)=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2
判斷知，此函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，
∴a_n=-2+1+4+n-2=n+1
（2）
兩式相減得：
由上式得
兩式作差得
又n=1時(shí)，b₁=1
所以
（3）n≥2時(shí)，，
令
驗(yàn)證知，當(dāng)n=1，2也滿足
故存在k=8，9使得c_n≤c_k對(duì)所有的n∈N*成立
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．