Question

12、已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5，若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A、[2，3]

B、[1，2]

C、[-1，3]

D、[2，+∞）

Answer 1

分析：先由函數(shù)的解析式求出其對(duì)稱軸及單調(diào)區(qū)間；然后根據(jù)f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，得出a的一個(gè)取值范圍；
再對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（a）-f（1）|≤4，又可求出a的一個(gè)取值范圍；最后兩者取交集，則問題解決．

解答：解：函數(shù)f（x）=x²-2ax+5的對(duì)稱軸是x=a，則其單調(diào)減區(qū)間為（-∞，a]，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，所以2≤a，即a≥2．
則|a-1|≥|（a+1）-a|=1，
因此任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，只需|f（a）-f（1）|≤4即可，
即|（a²-2a²+5）-（1-2a+5）|=|a²-2a+1|=（a-1）²≤4，亦即-2≤a-1≤2，
解得-1≤a≤3，又a≥2，
因此a∈[2，3]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性，及跨對(duì)稱軸的區(qū)間上的值域問題．