Question

如圖：ABCD是平行四邊形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°
（1）求證：EC∥平面PAD；
（2）求證：平面PAC⊥平面EBC；
（3）求直線PC與平面PABE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出平面PAD∥平面EBC，由此能證明EC∥平面PAD．
（2）由余弦定理得AC=

3

，由勾股定理得AC⊥BC，由線面垂直得BE⊥AC，由此能證明平面BEC⊥平面PAC．
（3）作CH⊥AB于H，連結(jié)PH，由題設(shè)知∠HPC即為線面角，由此能求出直線PC與平面PABE所成角的正弦值．

解答： （1）證明：因為BE∥PA，
BE?平面PAD，PA?平面PAD，
所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD，
所以平面PAD∥平面EBC，
因為EC?平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分）
（2）證明：因為AB=2，BC=1，∠CBA=60°，
由余弦定理得，AC=

3

，
所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，
所以AC⊥BC，又因為BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
則有AC⊥平面EBC，AC?平面PAC
所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分）
（3）解：作CH⊥AB于H，連結(jié)PH，
又因為CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE，
所以∠HPC即為線面角，
∴sin∠HPC=

HC

PC

=

21

14

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．