Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求b的值，并求a的取值范圍；
（2）判斷f（x）在其定義域R上的零點的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b…（1分），
因為f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
所以f（x）在x=0處取得極小值，f′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因為f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，所以f′（x）=-3x²+2ax＞0，…（4分），
當(dāng)x∈（0，1）時，，所以a的取值范圍是…（5分），
（2）由（1）得，解f′（x）=0得x=0或…（6分），

x	（-∞，0）	0
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

…（9分）
（i）①當(dāng)f（0）=c＞0時，由上表知，f（x）＞0，x取某個充分大的實數(shù)（例如）時，f（x₁）＜0，f（x）在定義域上連續(xù)，所以f（x）在區(qū)間上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有1個零點…（10分）；
②當(dāng)f（0）=c=0時，f（x）在區(qū)間上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有2個零點…（11分）；
③當(dāng)f（0）=c＜0時，（�。┤�，則，x取某個充分小的實數(shù)（例如x₂=-|a|）時，f（x₂）＞0，所以f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有2個零點…（12分）；
（ⅱ）若，則時，由上表知?x≥0，f（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有1個零點…（13分）；
（ⅲ）若，則時，f（x）在區(qū)間（x₂，0）、、上各有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有3個零點…（14分）；
綜上所述，當(dāng)c＞0或時，f（x）在其定義域R上有1個零點；當(dāng)c=0或時，f（x）在其定義域R上有2個零點；當(dāng)時，f（x）在其定義域R上有3個零點．
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)已知條件中函數(shù)的單調(diào)性，判斷出x=0是一個極值點，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)值為0，求出b的值．將b的值代入f（x）中，利用f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，判斷出f′（x）=-3x²+2ax＞0在（0，1）上恒成立，列出不等式求出a的范圍．
（2）利用函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性和最值研究零點的個數(shù)，對f（x）求導(dǎo)，找到單調(diào)區(qū)間，確定極值點，最后對極值點進行分類討論則得到零點個數(shù)．
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)為0時取到函數(shù)的極值的問題、根的存在性及根的個數(shù)判斷．這里多注意分類討論的思想．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．