Question

設(shè)非零數(shù)列{a_n}滿足a_na_n+2=a_n+1²+λ（-1）ⁿ⁺¹（n∈N⁺）．
（1）當λ=0時，求證：a_n-ma_n+m=a_n²，（n＞m 且m，n∈R⁺）．
（2）當a₁=1，a₂=2，λ=3，求證：a_n+2=a_n+3a_n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定{a_n}是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項，即可得證；
（2）先證明數(shù)列{

an+2-an

an+1

}是常數(shù)列，再證明結(jié)論即可．

解答： 證明：（1）當λ=0時，a_na_n+2=a_n+1²，所以{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
則a_n-ma_n+m=a1qn-m+1•a1qn+m-1=a_n²，得證．…4分
（2）由條件知a₃=

a22+3

a1

=7，…6分
由a_na_n+2=a_n+1²+λ（-1）ⁿ⁺¹得

an+2-an

an+1

=

an+2an-an2

an+1an

=

an+12-an+1an-1

an+1an

=

an+1-an-1

an

，…14分
所以數(shù)列{

an+2-an

an+1

}是常數(shù)列，則

an+2-an

an+1

=

a3-a1

a2

=3，
整理即得a_n+2=a_n+3a_n+1．                                   …16分．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．