Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-）為奇函數(shù)，下面關于f（x）的判定正確序號的選項為
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；　　　�、诤瘮�(shù)f（x）的圖象關于點（-，0）對稱；
③函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)；�、芎瘮�(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)．

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：①把x取代入f（x+）=-f（x），即可求出周期；
②先求函數(shù)y=f（x-）的對稱中心，通過圖象平移求函數(shù)f（x）的對稱中心；
③周期函數(shù)不符合單調(diào)函數(shù)的定義；
④根據(jù)函數(shù)y=f（x-）為奇函數(shù)，得出，
結合條件f（x+）=-f（x），聯(lián)立變化可證函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
解答：①因為定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+）=-f（x），取x=x+得：
即=-[-f（x）]=f（x），所以函數(shù)f（x）是周期為3的函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x-）為奇函數(shù)，則其圖象關于（0，0）對稱，而函數(shù)f（x）的圖象是把函數(shù)y=f（x-）的圖象向左平移個單位得到的，所以數(shù)f（x）的圖象關于點（-，0）對稱；
③因為函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，不滿足函數(shù)的單調(diào)性概念所以函數(shù)f（x）不是R上的單調(diào)函數(shù)；
④因為函數(shù)y=f（x-）為奇函數(shù)，所以有，
取x=x+，則有，所以
又f（x+）=-f（x），所以f（x+）=f（-x-），再令x=x+，所以有
所以有f（x+3）=f（-x-3），即f（x）=f（-x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱．
所以敘述正確的是①②④．
故選D．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了迭代法，同時考查了函數(shù)的圖象平移問題，解答此題的關鍵是靈活運用變量x的變化，是易錯題．