Question

已知F是定點(diǎn)，l為定直線，點(diǎn)F到l的距離為p（p＞0），點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在MF的延長(zhǎng)線上，且滿足|FN|•|MF|=|MN|，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過(guò)F作FA⊥l于A，分別以AF，l為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出N的坐標(biāo)，結(jié)合已知|FN|•|MF|=|MN|列等式，再由三角形相似列比例式，整理后即可得到動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．

解答： 解：如圖，

作FA⊥l于A，分別以AF，l為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則F（p，0），
設(shè)N（x，y），x＞p，M（0，m），則

y

x-p

=-

m

p

，m=-

py

x-p

，①
由|FN|•|MF|=|MN|，得|FN|：|MN|=1：|MF|，
則（x-p）：x=1：

p2+m2

，
平方得

x2

(x-p)2

=p2+m2，②
把①代入②，得

x2

(x-p)2

=p2+

p2y2

(x-p)2

，
∴x²-p²y²=p²（x-p）²，
∴（p²-1）x²+p²y²-2p³x+p⁴=0，x＞p≥1，即為動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，解答此題的關(guān)鍵是由題意列出比例式，結(jié)合已知等式找N的關(guān)系式，是中檔題．