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設各項均為正數的數列的前項和為,且滿足.
(1)求的值;
(2)求數列的通項公式;
(3)證明:對一切正整數,有.

(1);(2);(3)詳見解析.

解析試題分析:(1)將代入方程得到,結合題中條件(數列的各項均為正數,得到)求出的值,從而得到的值;(2)由十字相乘法結合得到的表達式,然后在的情況下,由求出數列的表達式,并驗證是否滿足該表達式,從而得到數列的通項公式;(3)解法一是利用放縮法得到
,于是得到,最后利用裂項求和法證明題中的不等式;解法二是保持不放縮,在的條件下放縮為
,最后在時利用放縮法結合裂項法證明相應的不等式.
(1)令得:,即,,
,即;
(2)由,得,
,,從而,,
所以當時,,
,
(3)解法一:當時,




.
證法二:當時,成立,
時,,

 
.
考點:本題以二次方程的形式以及的關系考查數列通項的求解,以及利用放縮法證明數列不等式的綜合問題,考查學生的計算能力與邏輯推理能力,屬于中等偏難題.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題

若數列的前項和,則此數列的通項公式為       .

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列的各項均為正數,是數列的前n項和,且
(1)求數列的通項公式;
(2)的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

設數列的前項和為,對任意的正整數,都有成立,記.(1)(1)求數列與數列的通項公式;
(2)設數列的前項和為,是否存在正整數,使得成立?若存在,找出一個正整數;若不存在,請說明理由.
(3)記,設數列的前項和為,求證:對于都有

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知是公差不為零的等差數列,,且成等比數列.
(1)求數列的通項公式;
(2)求數列的前項和.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的問題,全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林,其中西部占70%,2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝,以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問,從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題?
(2)為支持退耕還林工作,國家財政補助農民每畝300斤糧食,每斤糧食按0.7元計算,并且每畝退耕地每年補助20元,試問到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時,國家財政共需支付約多少億元?

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列的奇數項是首項為1的等差數列,偶數項是首項為2的等比數列.數列項和為,且滿足
(1)求數列的通項公式;
(2)求數列項和;
(3)在數列中,是否存在連續(xù)的三項,按原來的順序成等差數列?若存在,求出所有滿足條件的正整數的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:填空題

數列,則數列的前19項和為       

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

求下面各數列的前n項和:
(1),…
(2) ,…

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