Question

對(duì)于定義域內(nèi)的函數(shù)f（x），若存在非零實(shí)數(shù)x₀，使函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上均有零點(diǎn)，則稱x₀為函數(shù)f（x）的一個(gè)“給力點(diǎn)”．現(xiàn)給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=3^x-1+

1

2

；
②f（x）=2+lg|x-1|；
③f（x）=

x3

3

-x-1；
④f（x）=x²+ax-1（a∈R），則存在“給力點(diǎn)”的函數(shù)是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由指數(shù)函數(shù)的值域，即可判斷①；令f（x）=0，解出方程，即可判斷②；
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可得f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即可判斷③；
運(yùn)用二次方程的判別式，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，f（x）=3^x-1+

1

2

，定義域?yàn)镽，且f（x）＞

1

2

＞0恒成立，則不存在“給力點(diǎn)”；
對(duì)于②，f（x）=2+lg|x-1|，定義域?yàn)閧x|x≠1，x∈R}，令f（x）=0，則x=1+

1

100

或1-

1

100

，
可令x₀=1，則存在“給力點(diǎn)”；
對(duì)于③，f（x）=

x3

3

-x-1，定義域?yàn)镽，f′（x）=x²-1，在-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
在x＞1或x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．則x=1處取得極小值-

5

3

，x=-1處取得極大值-

1

3

，
則f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則不存在“給力點(diǎn)”；
對(duì)于④，f（x）=x²+ax-1（a∈R），定義域?yàn)镽，由于判別式a²+4＞0，則一定存在“給力點(diǎn)”．
綜上可得，②④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，主要考查新定義的理解和運(yùn)用，運(yùn)用解方程、函數(shù)的單調(diào)性和值域和導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵．