Question

10．已知f（x）=2ln（x+2）-（x+1）²，g（x）=k（x+1）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，求證：對(duì)于?x＞-1，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出定義域和導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，解出增區(qū)間，令f′（x）＜0，解出減區(qū)間；
（2）令H（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷出H（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，得出H（x）的最大值，證明H_max（x）＜0即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?2，+∞）．
f′（x）=$\frac{2}{x+2}$-2（x+1）=$\frac{-2（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}{x+2}$．
令f′（x）＞0，即-2（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＞0，解得-2＜x＜$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，
令f′（x）＜0，即-2（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＜0，解得x＞$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-2，$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，+∞）．
（2）當(dāng)k=2時(shí)，g（x）=2（x+1）．
令H（x）=f（x）-g（x）=2ln（x+2）-（x+1）²-2（x+1）．
H′（x）=$\frac{2}{x+2}$-2（x+1）-2=$\frac{-2{x}^{2}-8x-6}{x+2}$，
令H′（x）=0，即-2x²-8x-6=0，解得x=-1或x=-3（舍）．
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，H′（x）＜0，H（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴H_max（x）=H（-1）=0，
∴對(duì)于?x＞-1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)恒成立問(wèn)題的證明，屬于中檔題．