已知函數(shù)數(shù)學公式
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間數(shù)學公式上存在極值,其中a>0,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)設數(shù)學公式,若g(x)在(0,1]上的最大值為數(shù)學公式,求實數(shù)b的值.

解:(1)∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0},,
,解得x=1,
當0<x<1時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x>1時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,
∴f(x)在x=1處取極大值,
因為f(x)在區(qū)間上存在極值,所以,解得,
所以實數(shù)a的取值范圍是(,2).
(2)g(x)=xf(x)+bx-1-ln(2-x)=bx+lnx-ln(2-x),
∵b>0,當x∈(0,1]時,g′(x)=b+>0,
所以g(x)在(0,1]上單調遞增,
故g(x)在(0,1]上的最大值為g(1)=b,
因此
分析:(1)利用導數(shù)求出函數(shù)f(x)的極值點,設為x0,則,由此可得a的范圍;
(2)寫出g(x)的表達式,利用導數(shù)求出g(x)在(0,1]上的最大值,使其等于,即可求得b值;
點評:本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的極值及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,準確求導,熟知導數(shù)與函數(shù)極值、最值的關系是解決問題的基礎.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|,g(x)=(a+1)x,(a∈R,a≠-2).
(1)若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[lg|a+2|,(a+1)2]上都是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,比較f(1)與
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的大小,寫出理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)圖象過點A(2,1)和B(5,2),設an=3f(n),n∈N*
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)a;
(Ⅲ)對每一個k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個2,得到新數(shù)列:a1,2,a2,2,2,a3,2,2,2,2,a4,…,記為{bn},設Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,試問是否存在正整數(shù)m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷曲線,定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(t)|t∈D}表示函數(shù)f(t)在D上的最小值,max{f(t)|x∈D}表示函數(shù)f(t)在D上的最大值.若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)f(x)=2sinx(0≤x≤
n
2
),試寫出f1(x),f2(x)的表達式,并判斷f(x)是否為[0,
n
2
]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,請求對應的k的值;如果不是,請說明理由;
(2)已知b>0,函數(shù)g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果是函數(shù)的一個極值,稱點是函數(shù)的一個極值點.已知函數(shù)

(1)若函數(shù)總存在有兩個極值點,求所滿足的關系;

(2)若函數(shù)有兩個極值點,且存在,求在不等式表示的區(qū)域內時實數(shù)的范圍.

(3)若函數(shù)恰有一個極值點,且存在,使在不等式表示的區(qū)域內,證明:.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三12月月考數(shù)學理卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知函數(shù) 

(1)若函數(shù)在區(qū)間其中a >0,上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)如果當時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

(3)求證.

 

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