Question

（滿分12分）設(shè)是拋物線（p>0）的內(nèi)接正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），其面積為；點(diǎn)M是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的切線MP、MQ，P、Q為切點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由；
（3）求MPQ面積的最小值及相應(yīng)的直線PQ的方程．

Answer 1

（１）； （２）直線ＰＱ過定點(diǎn)；
（３）
即，ＭＰＱ面積有最小值．此時(shí)直線ＰＱ的方程是：．．

本試題主要是考查了拋物線的方程的求解，以及直線方程的求解，和三角形面積的最值的求解的綜合運(yùn)用。
（1）利用其性質(zhì)得到拋物線的方程；
（2）假設(shè)直線PQ過定點(diǎn)，那么分析其方程的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論。
（3）結(jié)合三角形的面積公式，而控制得到直線與拋物線聯(lián)立方程組的思想表示弦長(zhǎng)，然后得到求解。
解：（１）．因?yàn)檎?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222051985516.png" style="vertical-align:middle;" />面積是，設(shè)邊長(zhǎng)為，
則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１＇
又設(shè)，，
，
，所以點(diǎn)Ａ,Ｂ關(guān)于軸對(duì)稱，．．．．．．．．．．．．．．２＇
于是令可得，拋物線方程是：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
（２）．設(shè)，切點(diǎn)，則切線ＭＰ:，ＭＱ：，相較于Ｍ,所以，可得直線ＰＱ的方程：
當(dāng)時(shí)，與無關(guān)，所以直線ＰＱ過定點(diǎn)；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇
（３）. 設(shè)，，由（２）知直線PQ的方程是：，
，
，．．．．．．．．．．．．．１０＇
又點(diǎn)M到直線PQ的距離為，
所以．．．．12＇
即，ＭＰＱ面積有最小值．此時(shí)直線ＰＱ的方程是：．．