Question

設(shè)a，b∈R，定義在區(qū)間（b，3b-a）上的函數(shù)f（x）=

2x+ a 2

2x+1

是奇函數(shù)，
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明之；
（3）解關(guān)于x的不等式：f（2^x-

1

2

）+f（

1

4

）＜f（0）．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)即可求b的值；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進行化簡即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)是定義在區(qū)間（b，3b-a）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，b+3b-a=4b-a=0，
則f（0）=

1+ a 2

2

=0，即1+

a

2

=0，解得a=-2．
則b=-

1

2

．
（2）∵a=-2．
∴f（x）=

2x+ a 2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，定義域為（-

1

2

，

1

2

），
則f（x）為增函數(shù)：
證明：f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵當x∈（-

1

2

，

1

2

）時，2^x+1為增函數(shù)，

2

2x+1

為減函數(shù)，則-

2

2x+1

為增函數(shù)，
∴1-

2

2x+1

為增函數(shù)，即f（x）為增函數(shù)．
（3）∵f（0）=0，
∴不等式：f（2^x-

1

2

）+f（

1

4

）＜f（0）等價為不等式f（2^x-

1

2

）＜-f（

1

4

）=f（-

1

4

）．
∵f（x）在（-

1

2

，

1

2

）為增函數(shù)，
∴

2x- 1 2 ＜- 1 4 - 1 2 ＜2x- 1 2 ＜ 1 2

，即

2x＜ 1 4 0＜2x＜1

，
則

x＜-2 x＜0

，解得x＜-2．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，綜合性較強．利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．