精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】正整數的所有約數之和用表示，（比如）.試答下列各問：

（1）證明：如果和互質，那么；

（2）當是的約數（），且.試證是質數.其次，如果是正整數，是質數，試證也是質數；

（3）設（為正整數，為奇數），且.試證存在質數，使得.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3) （為質數）

【解析】

（1）設的約數為，的約數為.因，互質，故的約數是（，）.有

.

（2）因，，1是的約數，如果，則，故.因此僅當時，才能有，亦即對來說，除和1之外再無約數，故為質數.一般地，由

，

如果，則

，

它的任何一個因數也不為1，因此非質數.

（3）因為和互質.

.

另一方面，由，

， ①

因為是奇數，故（是奇數），由①得，亦即，是的約數.，因此，由此引用（2）的前半部，，為質數.

則 是質數，

即 是質數.

綜合以上可得（為質數）.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分數在[120，130）內的頻率；

（2）估計本次考試的中位數；

（3）用分層抽樣的方法在分數段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段[120，130）內的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數， ．

（1）解方程．

（2）令，求的值．

（3）若是定義在上的奇函數，且對任意恒成立，求實數k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）的幾組對照數據

（1）請畫出上表數據的散點圖；

（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；

（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據（2）求出的線性同歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?（參考數值）

（附，，其中，為樣本均值）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數是定義在上的奇函數，且當時，.

（Ⅰ）若，求函數的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有兩個不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函數為上的單調減函數，

①求的取值范圍；

②若不等式成立，求實數的取值集合.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數則不等式的解集為（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設定義在上的函數、和，滿足，且對任意實數、（），恒有成立.

⑴試寫 出一組滿足條件的具體的和，使為增函數，為減函數，但為增函數.

⑵判斷下列兩個命題的真假，并說明理由.

命題1）：若為增函數，則為增函數；

命題2）：若為增函數，則為增函數.

⑶已知，寫出一組滿足條件的具體的和，且為非常值函數，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時,求的單調遞增區(qū)間；

（2）證明：當時，有兩個零點；

（3）若，函數在處取得最小值，證明：.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案