Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+2|．
（1）當(dāng)a=1，解不等式f（x）＜5；
（2）對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≥3a-2都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）≤5等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象不能在y=3a-2的圖象的下方，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-l|+|x+|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-2x-1，x≤-2}\end{array}\right.$，
f（x）＜5，可得2x+＜5（x≥1）或3＜5（-2＜x＜1）或-2x-1＜5（x≤-2）
解得-3＜x＜2．不等式的解集為：{x|-3＜x＜2}．
（2）若不等式f（x）≥|x-a=x-2|=|a+2|，由題意，對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≥3a-2都成立，
可得：|a+2|≥3a-2．在坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|a+2|與y=3a-2的圖象如圖．
可得得：a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．