Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E為線段PA的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AD=2，求點E到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)線段AD的中點為F，連接EF，F(xiàn)B．通過線面平行證明平面EFB∥平面PCD，再證明：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點E到平面PCD的距離與點B到平面PCD的距離相等，利用，等體積方法求點E到平面PCD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)線段AD的中點為F，
連接EF，F(xiàn)B．
在△PAD中，EF為中位線
故EF∥PD．
又EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，F(xiàn)D∥BC，且FD=BC，故四邊形DFBC為平行四邊形，
即FB∥CD．
又FB?平面PCD，CD?平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又因為EF?平面EFB，F(xiàn)B?平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE?平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，點E到平面PCD的距離與點B到平面PCD的距離相等．
連接AC，設(shè)點B到平面PCD的距離為h，

因為PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC．
根據(jù)題意，在Rt△PAD中，$PD=2\sqrt{2}$
在Rt△ADC中，$AC=2\sqrt{2}$，
在Rt△PAC中，$PC=2\sqrt{3}$，由于PD²+CD²=PC²，
所以△PCD為直角三角形，${S}_{△PCD}=2\sqrt{2}$.${V}_{B-PCD}=\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•h=\frac{2\sqrt{2}}{3}h$．又${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AP=\frac{2}{3}$，所以$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即點E到平面PCD的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查點E到平面PCD的距離、三棱錐體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．