Question

7．已知tanα=-4，求下列各式的值：
（1）sin²α；
（2）3sinαcosα；
（3）cos²α-sin²α；
（4）1-2cos²α．

Answer 1

分析 將所求式子的分母“1”變?yōu)閟in²α+cos²α，然后分子分母都除以cos²α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可得到關(guān)于tanα的關(guān)系式，把tanα的值代入即可求出值．

解答 解：（1）∵tanα=-4，
∴sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{16}{16+1}$=$\frac{16}{17}$；
（2）∵tanα=-4，
∴3sinαcosα=$\frac{3sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{3tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3×（-4）}{（-4）^{2}+1}$=-$\frac{12}{17}$；
（3）∵tanα=-4，
∴cos²α-sin²α=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-16}{1+16}$=-$\frac{15}{17}$；
（4）∵tanα=-4，
∴1-2cos²α=sin²α-cos²α=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{16-1}{16+1}$=$\frac{15}{17}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．