Question

若f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）=-x²-2x+a，若?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立，則實數a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：先根據奇函數性質、結合當x＜0時，f（x）=-x²-2x+a，求出x∈[0，+∞）時f（x）的表達式，然后只需f（a）≤f（x）_min即可，再借助二次函數求最值的方法求出f（x）的最小值，解出關于a的不等式獲解．

解答： 解：由題意f（0）=0．
設x＞0，則-x＜0，所以f（-x）=-（-x）²+2x+a=-x²+2x+a，
又因為f（-x）=-f（x），所以f（x）=x²-2x-a，（x＞0）
當a＜0時，f（a）=-a²-a；當a＞0時，f（a）=a²-3a．
①當a＜0時，
若x=0，則f（0）=0，只需f（a）=-a²-a≤0，解得a≤-1（?），
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其對稱軸x=1∈[0，+∞），結合圖象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
只需f（a）=-a²-a≤-（a+1），即a²-1≥0，解得a≥1或a≤-1，
結合（?）式可得：a＜0時，滿足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范圍是a≤-1；
②當a≥0時，
若x=0，則f（0）=0，此時只需f（a）=a²-3a≤0，解得0≤a≤3（1）
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其對稱軸x=1∈[0，+∞），結合圖象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
所以此時需f（a）=a²-3a≤-（a+1），即（a-1）²≤0，所以a=1（2）
由（1）（2）可得a≥0時，滿足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范圍是a=1．
由①②可知，當a=1或a≤-1時，對?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立．

點評：本題較為復雜，不但要討論x的范圍，還要對a的范圍討論，確定f（a），要仔細考慮，分析清楚才不會出錯．