【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(4,﹣2),且圓心C在直線l:x+y+1=0上.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)M,N為圓C上兩點(diǎn),且M,N關(guān)于直線l對稱,若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求直線MN的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵A(1,1),B(4,﹣2)∴直線AB的斜率
∴直線AB的垂直平分線的斜率為1
又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為
∴線段AB的垂直平分線的方程是 ,即x﹣y﹣3=0
∵圓心C在直線l:x+y+1=0上
∴圓心C的坐標(biāo)是方程組 的解,得圓心C的坐標(biāo)(1,﹣2)
∴圓C的半徑長
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x﹣1)2+(y+2)2=9
(Ⅱ)設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P,半徑為r
∵M(jìn),N是圓C上的兩點(diǎn),且M,N關(guān)于直線l:x+y+1=0對稱
∴點(diǎn)P在直線l:x+y+1=0上
∴可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,﹣1﹣m)
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O
∴以MN為直徑的圓的半徑長
∵M(jìn)N是圓C的弦,
∴|CP|2+r2=9,即(m﹣1)2+(m﹣1)2+m2+(m+1)2=9,解得m=﹣1或
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,0)或
∵直線MN垂直直線l:x+y+1=0,
∴直線MN的斜率為1
∴直線MN的方程為:x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0
【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意,分析可得圓C的圓心是線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn),先求出線段AB的垂直平分線的方程,與直線l聯(lián)立可得圓心C的坐標(biāo),進(jìn)而可得圓的半徑,即可得答案;(Ⅱ)設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P,半徑為r,可以設(shè)p的坐標(biāo)為(m,﹣1﹣m),結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得(m﹣1)2+(m﹣1)2+m2+(m+1)2=9,解得m的值,即可得p的坐標(biāo),分析可得直線MN的斜率為1,由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:
①若,則;
②若是不共線的四點(diǎn),則是四邊形為平行四邊形的充要條件;
③若, ,則;
④的充要條件是且
其中正確命題的序號是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0, ))的圖象在y軸上的截距為1,在相鄰兩個(gè)最值點(diǎn) 和(x0 , ﹣2)上(x0>0),函數(shù)f(x)分別取最大值和最小值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(x)= 在區(qū)間 內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求k的取值范圍;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的對稱軸方程.
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【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn).
(1)求證:BD1∥平面AEC.
(2)求異面直線BC1與AC所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=asinx﹣bcosx(a、b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x= 處取得最小值,則函數(shù)y=f( ﹣x)是( )
A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱
B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱
D.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月23日是世界讀書日,惠州市某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng)。為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,且將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”,低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)?
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“讀書迷”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0 ) 經(jīng)過點(diǎn) P(1, ),離心率 e=
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)E(0,﹣2 ) 的直線l 與C相交于P,Q兩點(diǎn),求△OPQ 面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ .
(1)討論f(x)的單調(diào)性.
(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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