Question

已知點P是曲線C：ρ²=

3

2-cos2θ

上的一個動點，則P到直線l：

x=-1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t為參數(shù)）的最長距離為

 

．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計算題,坐標系和參數(shù)方程

分析：運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²將曲線C化為直角坐標方程，將直線l化為普通方程，將直線方程代入橢圓方程，運用直線與橢圓相切，得到切線方程，再由兩平行線間的距離，即可得到最大值．

解答：解：曲線C：ρ²=

3

2-cos2θ

=

3

2-(1-2sin2θ)

，
化為直角坐標方程：ρ²+2ρ²sin²θ=3，
x²+y²+2y²=3即橢圓

x2

3

+y2=1，
直線l：

x=-1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t為參數(shù)），化為普通方程得，y=x+4，
平移l得直線m：y=x+t，代入橢圓方程，得4x²+6tx+3t²-3=0，
由相切得，判別式36t²-48（t²-1）=0，解得t=±2，即y=x±2，
則l，m間的距離為

|4+2|

2

或

|4-2|

2

，即3

2

或

2

．
故最長距離為3

2

．

點評：本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的互化，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，是一道中檔題．