Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先，利用二倍角公式，化簡函數(shù)解析式，然后，利用周期公式確定該函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=0，然后，結合三角函數(shù)的圖象與性質進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x+cos2x+a-1
=2sin（2x+

π

6

）+a-1，
∴T=

2π

2

=π，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）令f（x）=0，即2sin（2x+

π

6

）+a-1=0，
則a=1-2sin（2x+

π

6

），
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤1-2sin（2x+

π

6

）≤3，
∴若f（x）有零點，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，3]．

點評：本題重點考查了二倍角公式、三角恒等變換公式，三角函數(shù)的圖象與性質等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．