Question

以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長度．已知直線l的方程為
ρcosθ-ρsinθ-1=0（ρ＞0），曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），點M是曲線C上的一動點．
（Ⅰ）求線段OM的中點P的軌跡方程；
（Ⅱ）求曲線C上的點到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）設(shè)中點P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)中點公式求得線段OM的中點P的軌跡的參數(shù)方程，再把它化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）求得直線l的普通方程和曲線C的普通方程，可得曲線C表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，故所求最小值為圓心（0，2）到直線l的距離減去半徑，計算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)中點P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)中點公式有

x=cosα y=1+sinα

（α為參數(shù)），
這是點P軌跡的參數(shù)方程，消參得點P的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）直線l的普通方程為x-y-1=0，曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4
表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，
故所求最小值為圓心（0，2）到直線l的距離減去半徑，
設(shè)所求最小距離為d，則d=

|0-2-1|

2

-2=

3 2

2

-2．
因此曲線C上的點到直線l的距離的最小值為

3 2

2

-2．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式、直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．