Question

函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為R上的奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所表示，A，B分別為最高點與最低點，并且兩點間的距離為2

2

，現(xiàn)有下面的3個命題：
（1）函數(shù)y=|f（x）|的最小正周期是2；
（2）函數(shù)y=f(x-

1

2

)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減；
（3）直線x=1是函數(shù)y=f（x+1）的圖象的一條對稱軸．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求出φ的值，由最高點與最低點間的距離、勾股定理求出ω的值，即求出函數(shù)的解析式，
利用y=|sinx|的周期求出函數(shù)y=|f（x）|的最小正周期，從而判斷（1）；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判（2）；利用余弦函數(shù)的對稱軸判斷（3）．

解答： 解：因為函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為R上的奇函數(shù)，
所以φ=

π

2

，則函數(shù)f（x）=sin（ωx），
設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx）的周期是T，
因為A，B分別為最高點與最低點，并且兩點間的距離為2

2

，
所以(2

2

)2=22+(

T

2

)2，解得T=4，即4=

2π

ω

，則ω=

π

2

，
所以f（x）=sin（

π

2

x），
對于（1），則函數(shù)y=|f（x）|=|sin（

π

2

x）|的最小正周期是

π

π 2

=2，（1）正確；
對于（2），因為f（x）=sin（

π

2

x），所以函數(shù)y=f(x-

1

2

)=sin[

π

2

（x-

1

2

）]，
由x∈[0，1]得，

π

2

（x-

1

2

）∈[-

π

4

，

π

4

]，所以y=f(x-

1

2

)在[0，1]上遞增，（2）錯誤；
對于（3），因為f（x）=sin（

π

2

x），所以函數(shù)y=f（x+1）=sin[

π

2

（x+1）]=cos（

π

2

x），
當x=1時，

π

2

x=

π

2

，所以直線x=1不是函數(shù)y=f（x+1）的圖象的一條對稱軸，（3）錯誤，
綜上得，正確的命題是（1），
故答案為：（1）．

點評：本題考查命題真假的判斷，主要利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，比較綜合，屬于中檔題．