Question

1．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=$\sqrt{7}$，∠BAD=120°，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=2EC，F(xiàn)為線段PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PBD
（2）若PC=5，三棱錐F-PAD的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，通過(guò)證明EF為△POC的中位線，推出EF∥PO，然后EF∥平面PBD．
（2）利用V_F-PAD=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$V_P-CAD，求解幾何體的體積即可．

解答 （本小題滿分12分）
（1）證明：∵AB=AD，CB=CD，∴AC⊥BD，設(shè)AC∩BD=O，連接PO，由AB=AD=2，∠BAD=120°
得：OA=1，BD=2$\sqrt{3}$，在Rt△COD中，CD=$\sqrt{7}$，OD=$\sqrt{3}$∴OC=2
∵AE=2EC∴E為OC中點(diǎn)   又∵F為PC的中點(diǎn)∴EF為△POC的中位線
∴EF∥PO     又PO?面PBD   EF?面PBD
∴EF∥平面PBD…（6分）

（2）解：在Rt△PAC中，PC=5，AC=3∴PA=4
∴V_F-PAD=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$V_P-CAD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$V_P-ABCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$×4=$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．