在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,且AD=AB=2BC=2a.
(1)在棱PA上是否存在點(diǎn)E,使PC∥面EBD,若存在,求出E點(diǎn)位置,并證明.
(2)當(dāng)PA=3a時(shí),求二面角B-PC-A大小的余弦值.
分析:(1)利用平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理即可證明;
(2)通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角即可求出二面角的余弦值.
解答:解:(1)在棱PA上存在點(diǎn)E,使PC∥面EBD,其中AE=2EP.證明如下:
設(shè)AC∩BD=O,連接EO.
∵BC∥AD,∴
AO
OC
=
AD
BC
=2,
AE
EP
=2
,∴EO∥PC.
∵EO?平面EBD,PC?平面EBD.
∴PC∥平面EBD.
(2)分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,a,0),P(0,0,3a).
BC
=((0,a,0),
PC
=((2a,a,-3a),
AP
=(0,0,3a).
設(shè)平面PBC的法向量為
n1
=(x1,y1,z1),
n1
BC
=0
n1
PC
=0
,即
ay1=0
2ax1+ay1-3az1=0
,則y1=0,令x1=3,
得z1=2,∴
n1
=(3,0,2)

設(shè)平面PAC的法向量為
n2
=(x2,y2z2)
,
n2
PC
=0
n2
AP
=0
,即
2ax2+ay2-3az2=0
3az3=0
,則z3=0,令x2=1,得y2=-2,∴
n2
=(1,-2,0)

cos<
n1
,
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
3
13
×
5
=
3
65
65

∴二面角B-PC-A大小的余弦值為
3
65
65
點(diǎn)評(píng):熟練掌握平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理、通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角求出二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求BD與平面ADMN所成角的大。
(3)求二面角B-PC-D的大。

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于點(diǎn)N,M是PD中點(diǎn).
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點(diǎn)
(1)求證:直線MO∥平面PAB;
(2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求證:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點(diǎn),
(I)證明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大。

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