Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD=AB=2BC=2a．
（1）在棱PA上是否存在點(diǎn)E，使PC∥面EBD，若存在，求出E點(diǎn)位置，并證明．
（2）當(dāng)PA=3a時(shí)，求二面角B-PC-A大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角即可求出二面角的余弦值．

解答：解：（1）在棱PA上存在點(diǎn)E，使PC∥面EBD，其中AE=2EP．證明如下：
設(shè)AC∩BD=O，連接EO．
∵BC∥AD，∴

AO

OC

=

AD

BC

=2，
∵

AE

EP

=2，∴EO∥PC．
∵EO?平面EBD，PC?平面EBD．
∴PC∥平面EBD．
（2）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，a，0），P（0，0，3a）．
∴

BC

=（（0，a，0），

PC

=（（2a，a，-3a），

AP

=（0，0，3a）．
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

n1 • BC =0 n1 • PC =0

，即

ay1=0 2ax1+ay1-3az1=0

，則y₁=0，令x₁=3，
得z₁=2，∴

n1

=(3，0，2)．
設(shè)平面PAC的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2 • PC =0 n2 • AP =0

，即

2ax2+ay2-3az2=0 3az3=0

，則z₃=0，令x₂=1，得y₂=-2，∴

n2

=(1，-2，0)．
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

3

13 × 5

=

3 65

65

．
∴二面角B-PC-A大小的余弦值為

3 65

65

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理、通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角求出二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．