Question

已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點(diǎn)C的動直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線AB的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出直線AB的方程，將直線方程代入橢圓，用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，此時代入已知AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出直線AB的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使為常數(shù)．分別分當(dāng)直線AB與x軸不垂直時以及當(dāng)直線AB與x軸垂直時求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．最后綜合兩種情況得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，
解得，適合（1）．
所以直線AB的方程為，或．

（Ⅱ）解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使為常數(shù)．
①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由（Ⅰ）知
所以
=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
將（3）代入，整理得
=
注意到是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有，此時
②當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時，亦有
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查直線的一般方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系求法．通過運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法，以及向量垂直關(guān)系的利用求解．考查對知識的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．