Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點． （Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明： （Ⅰ）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以 ，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且 ，從而OA2+SO2=SA2 ．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O(shè)為坐標原點，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標系O﹣xyz．
設(shè)B（1，0，0），則C（﹣1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中點 ， ．
∴ ．
故 等于二面角A﹣SC﹣B的平面角．
，
所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）欲證SO⊥平面ABC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內(nèi)兩相交直線垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，滿足定理條件；（2）以O(shè)為坐標原點，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，求出兩半平面的法向量，求出兩法向量的夾角即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想)．