Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PD的中點(diǎn)，求平面BCE將四棱錐P-ABCD分成的上下兩部分體積V₁、V₂之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點(diǎn)H，連接CH，則CH⊥AD，CH=AB=HD，證明CD⊥平面PAC，即可證明求證：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）證明B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，故平面BCE將四棱錐P-ABCD分成的上部分為四棱錐P-BCEF，下部分為多面體EFABCD．易知ABF-HCE為直三棱柱，CH⊥平面PAD，利用體積公式，即可求平面BCE將四棱錐P-ABCD分成的上下兩部分體積V₁、V₂之比．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
取AD中點(diǎn)H，連接CH，則CH⊥AD，CH=AB=HD．
∴∠ACH=∠DCH=45°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：取PD中點(diǎn)E，PA中點(diǎn)F，連接EF，BE，則EF∥AD，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
故平面BCE將四棱錐P-ABCD分成的上部分為四棱錐P-BCEF，下部分為多面體EFABCD．
易知ABF-HCE為直三棱柱，CH⊥平面PAD．
∴V₂=V_ABF-HCE+V_C-DEH=S_△ABF•BC+$\frac{1}{3}{S}_{△DEH}•CH$=$\frac{1}{2}AB•AF•BC$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×HD×HE×CH$
=$\frac{1}{2}×1×1×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{2}{3}$，
∵V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（BC+AD）•AB•PA$=1，
∴V₁=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生付現(xiàn)金及微軟的能力，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．