Question

已知定點A（-1，

3

），動點P按逆時針方向沿著單位圓從P₀（1，0）處開始運動（t=0秒），且每秒運動的弧長為

π

5

弧度，在t秒內(nèi)（t＞0）到達點P．記函數(shù)f（t）=

OA

•

OP

，向量

OQ

=

OA

+

OP

，關于f（t）有以下結論：
①f（t）=-

3

sin

π

5

t+cos

π

5

t；②f（t）=2sin（

π

5

t-

π

6

）；③Q點的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓；
④當f（t）第一次取得最大值時，需要的時間是t=

3

10

秒；⑤1≤|

OQ

|≤3
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)數(shù)量積之間的關系求出函數(shù)f（t）的表達式，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答： 解：動點P按逆時針方向沿著單位圓從P₀（1，0）處開始運動（t=0秒），且每秒運動的弧長為

π

5

弧度，
∴P點的坐標為（cos

π

5

t，sin

π

5

t），

OA

=（-1，

3

），

OP

=（cos

π

5

t，sin

π

5

t），
∴f（t）=

OA

•

OP

=-cos

π

5

t+

3

sin

π

5

t=2sin（

π

5

t-

π

6

），
∴①錯誤，②正確，
∵

OQ

=

OA

+

OP

=（-1+cos

π

5

t，

3

+sin

π

5

t）
∴設Q（x，y），
則x=-1+cos

π

5

t，y=

3

+sin

π

5

t，消去參數(shù)得（x+1）²+（y-

3

）²=1，
∴Q點的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，
∴③正確．
由

π

5

t-

π

6

=

π

2

，解得t=

10

3

，∴④錯誤．
∵

OQ

2=（-1+cos

π

5

t）²+（

3

+sin

π

5

t）²=5+4sin（

π

5

t-

π

6

），
∴1≤5+4sin（

π

5

t-

π

6

）≤9，
∴1≤

OQ

2≤9，
即1≤|

OQ

|≤3，∴⑤正確．
故答案為：②③⑤

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用向量數(shù)量積之間的關系求出函數(shù)的表達式是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．