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4.如圖所示,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<\frac{π}{2}})離y軸最近的零點與最大值均在拋物線y=-32x2+12x+1上,則f(x)=(  )
A.fx=sin16x+π3B.fx=sin12x+π3C.fx=sinπ2x+π3D.fx=sinπ2x+π6

分析 根據(jù)題意,令y=0,求出點(-23,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,再令y=1,求出點(13,1)在函數(shù)f(x)的圖象上,從而求出φ與ω的值,即可得出f(x)的解析式.

解答 解:【解法一】根據(jù)題意,令y=0,得-32x2+12x+1=0,
解得x=-23或x=1;
∴點(-23,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,
令y=1,解得x=0或x=13,
∴點(13,1)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴T=4;
∴ω=2πT=π2;
由(13,1)在f(x)的圖象上,得sin(π2×13+φ)=1,
π6+φ=2kπ+π2,k∈Z;
又|φ|<π2,
∴k=0時,φ=π3
∴f(x)=sin(π2x+π3).
故選:C.
【解法二】函數(shù)f(x)離y軸最近的零點與最大值均在拋物線y=32x2+12x+1上,
令y=0,得-32x2+12x+1=0,
解得x=-23或x=1;
∴點(-23,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴-23ω+φ=0,即φ=23ω①;
又令ωx+φ=π2,得ωx=π2-φ②;
把①代入②得,x=π2ω-23③;
令y=1,得-32x2+12x+1=1,
解得x=0或x=13;
π2ω-23=13,
解得ω=12π,
∴φ=23ω=π3,
∴f(x)=sin(π2x+π3).
故選:C.

點評 本題考查了解函數(shù)y=sin(ωx+φ)以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

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