已知正方形ABCD，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．求證：DP⊥EF．
分析：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積為0，即可得到結(jié)論．
解答：證明：以A為原點(diǎn)，AB、AD分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形邊長為1，則
AB
=（1，0），
AD
=（0，1）．
由已知，可設(shè)
AP
=（a，a），并可得
EB
=（1-a，0），
BF
=（0，a），
EF
=（1-a，a），
DP
=
AP
-
AD
=（a，a-1），
∵
DP
•
EF
=（1-a，a）•（a，a-1）=（1-a）a+a（a-1）=0．
∴
DP
⊥
EF
，因此DP⊥EF．
點(diǎn)評：本題考查利用空間向量證明平面幾何問題，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明向量的數(shù)量積為0．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P為對角線AC上一點(diǎn)，則（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD邊長為1，則|
AB
+
BC
+
AC
|=（　�。�
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線PA和EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）（理）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大�。�

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