Question

【題目】已知動圓過定點，且與直線相切，橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，點為坐標(biāo)原點，是其一個焦點，又點在橢圓上．

（1）求動圓圓心的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過的動直線交橢圓于點，交軌跡于兩點，設(shè)為的面積，為的面積，令的面積，令，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）動圓圓心滿足拋物線的定義：，所以方程為，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，利用待定系數(shù)法：（2）先表示面積：拋物線中三角形面積，利用焦點，底邊OF為常數(shù)，高為橫坐標(biāo)之差的絕對值，再根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解；橢圓中三角形面積，利用A點為定點，底邊AF為常數(shù)，高為橫坐標(biāo)之差的絕對值，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解；研究函數(shù)關(guān)系式：是一元函數(shù)，可根據(jù)直線斜率k取值范圍求解

試題解析：（1）依題意，由拋物線的定義易得動點的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

顯然有，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）顯然直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的直線方程為：①

聯(lián)立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有，

設(shè)則有，

再將①式聯(lián)立拋物線方程，有，設(shè)得，∴，

∴，

∴當(dāng)時，，又，∴