在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且5tanB=
8ac
a2+c2-b2
．
（I） 求sin2
A+C
2
+cos2B的值；
（Ⅱ）若tanC=
6
12
，c=2，求b的值．
分析：（I）通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及余弦定理化簡5tanB=
8ac
a2+c2-b2
，利用二倍角公式求解sin2
A+C
2
+cos2B的值；
（Ⅱ）利用角的范圍通過tanC=
6
12
，求出C的正弦函數(shù)，結(jié)合c=2，利用正弦定理求b的值．
解答：解：（I）5tanB=
8ac
a2+c2-b2
變式得：5
sinB
cosB
=4•
2ac
a2+c2-b2
…（2分）
由余弦定理，化簡得5
sinB
cosB
=4•
1
cosB
，即sinB=
4
5
，
因?yàn)?＜B＜π，∴cosB=±
3
5
…（5分）
∵sin2
A+C
2
+cos2B=cos2
B
2
+cos2B=
1+cosB
2
+1-2sin2B=
11
50
+
1
2
cosB，
∴sin 2
A+C
2
+cos2B=
11
25
或-
2
25
…（8分）
（Ⅱ）∵tanC=
6
12
＞0，∴0＜C＜
π
2

∴sinC=
1
5
…（10分）
∵
b
sinB
=
c
sinC
，∴b=
csinB
sinC
=
2×
4
5
1
5
=8…（12分）
點(diǎn)評：本題考查正弦定理與余弦定理以及二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大�。�
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點(diǎn)，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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