Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整數(shù)），求證：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)；
（3）是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{b_n}中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：設(shè) 的公差為d，由，知，（）
（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111114/20111114151947765928.gif">
所以

所以。
（2）
由
所以
解得或
但
所以
因?yàn)閕是正整數(shù)，
所以是整數(shù)，即q是整數(shù)，
設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為
設(shè)數(shù)列中某一項(xiàng)=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)m，使得，即在方程m中有正整數(shù)解即可，
所以
若，則
那么
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111114/201111141519484371005.gif">
只要考慮的情況
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111114/20111114151948500917.gif">
所以
因此q是正整數(shù)，
所以m是正整數(shù)，
因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為與數(shù)列的第項(xiàng)相等，
從而結(jié)論成立。
（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有

設(shè)
所以
令
則
∵
所以
所以（舍去負(fù)值）
即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。