Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

（ω＞0）的最小正周期為

π

2

．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式：f（x）=sin（2ωx+

π

3

），然后，借助于周期公式，求解ω=2，從而確定函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換，得到y(tǒng)=g（x）=sin（2x-

π

6

），然后，結(jié)合x∈[0，

π

2

]，得到g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，從而得到結(jié)果．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

3

）
∴f（x）=sin（2ωx+

π

3

）
∵T=

2π

2ω

=

π

2

∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后，得到函數(shù)的解析式為：y=sin[4（x-

π

8

）+

π

3

]=sin（4x-

π

6

）
再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，
∴k∈[-1，

1

2

]．
∴實數(shù)k的取值范圍[-1，

1

2

]．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．