Question

設(shè)數(shù){a_n}的前n項和為S_n=4-

1

4n-1

（n∈N⁺），數(shù){b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₁，a₂（b₂-b₁）=a₁
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n=s_n-s_n-1，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由a₂（b₂-b₁）=a₁，求出b₂、b₁，進而求出公差，再由等差數(shù)列得到數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）首先由（I）得出求數(shù)列{c_n}的通項公式，然后求出4T_n-T_n，進而求出前n項和T_n．

解答：解（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=4-

1

4n-1

得：an=Sn-Sn-1=4-

1

4n-1

-4+

1

4n-2

=

3

4n-1

(n≥2)
a₁=S₁=4-1=3（n=1）
∴an=

3

4n-1

(n∈N*)（3分）
b₁=a₁=3，a₂（b₂-b₁）=a₁?

3

4

(b2-b1)=3∴b₂-b₁=4
數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
所以b_n=b₁+（n-1）4=4n-1（16分）
（Ⅱ）設(shè)cn=anbn=

3(4n-1)

4n-1

Tn=

3×3

1

+

3×7

4

++

3(4n-5)

4n-1

+

3(4n-1)

4n-1

①4Tn=4•

3×3

1

+

3×7

1

+

3×11

41

3(4n-5)

4n-3

+

3(4n-1)

4n-2

②（9分）
②-①3Tn=4×9+3×4(

1

1

+

1

41

++

1

4n-3

+

1

4n-2

)-

3(4n-1)

4n-1

Tn=

52

3

-

1

3•4n-3

-

(4n-1)

4n-1

或

52

3

-

48n+52

3•4n

或

52

3

-

n

4n-2

-

13

3•4n-1

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推式、等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的前n項和，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列一般采取錯位相減的方法求前n項和，屬于中檔題．