Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）記T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
又n=1適合上式，
∴an=2n+1，n∈N*．
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

1

6

-

1

4n+6

．

點評：本題考查了利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．