Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且在（-∞，0]上單調(diào)遞減，對(duì)任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)．
（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性（不要求證明），并求f（1）的值；
（Ⅱ）k為常數(shù)，-1＜k＜1，解關(guān)于x的不等式f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；再利用賦值法把1代入即可求出f（1）的值；
（Ⅱ）利用偶函數(shù)的性質(zhì)以及f（1）的值，可以先把f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

轉(zhuǎn)化為f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，進(jìn)而得到，

|kx+3|

x2+9

＞1⇒（1-k²）x²-6kx＜0；再對(duì)二此項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論即可解不等式．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)，
∴f（1）+f（1）=-1+2log₂（1+1）=1，
∴f(1)=

1

2

．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f(

kx+3

x2+9

)=f(

|kx+3|

x2+9

)，
不等式就是f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，∵f（x）在[0，+∞）上遞增，∴

|kx+3|

x2+9

＞1∴|kx+3|＞

x2+9

，
k²x²+6kx+9＞x²+9．∴（1-k²）x²-6kx＜0，
①若k=0，則x²＜0，∴不等式解集為?；
②若-1＜k＜0，則

6k

1-k2

＜x＜0，∴不等式解集為(

6k

1-k2

，0)；
③若0＜k＜1，則0＜x＜

6k

1-k2

，∴不等式解集為(0，

6k

1-k2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用問題．偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)是在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；而奇函數(shù)的圖象特點(diǎn)是在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．