Question

在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，其通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，如下圖所示，有一列三角形數(shù)表，其位于三角形的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，依次記各三角形數(shù)表中的所有數(shù)之和為a_n，則．
（1）求a₃，a₄，并寫出a_n的表達(dá)式；
（2）令b_n=，證明2n＜b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2n+2（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）∵，
∴a₃=．
（2），，
而，
∴2n＜b₁+b₂+b₃++b_n＜2n+2
分析：（1）由a₁，a₂可得a₃=．
（2）由，知b₁+b₂+b₃+…+b_n=，由此知2n＜b₁+b₂+b₃++b_n＜2n+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用及數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．