【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.
(1)設(shè)點E為PD的中點,求證:CE∥平面PAB;
(2)線段PD上是否存在一點N,使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ?若存在,試確定點N的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)證明:取AD中點M,連EM,CM,則EM∥PA.

∵EM平面PAB,PA平面PAB,

∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°.

而∠BAC=60°,∴MC∥AB.

∵M(jìn)C平面PAB,AB平面PAB,∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC平面EMC,∴EC∥平面PAB.


(2)解:過A作AF⊥AD,交BC于F,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B( ,﹣ ,0),C( ,1,0),D(0,4,0),P(0,0,2),

設(shè)平面PAC的法向量為 =(x,y,z),則 ,取 =( ,﹣3,0),

設(shè) (0≤λ≤1),則 =(0,4λ,﹣2λ), =(﹣λ﹣1,2﹣2λ),

∴|cos< , >|= = ,∴ ,

∴N為PD的中點,使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為


【解析】(1)取AD中點M,利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB,利用同位角相等證明MC∥AB,得到平面EMC∥平面PAB,證得EC∥平面PAB;(2)建立坐標(biāo)系,求出平面PAC的法向量,利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ,可得結(jié)論.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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B.
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