Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，其中AB=3，PA=4．
（1）當，且在PD上存在一點E，使得BE⊥CE時，求二面角E-BC-A的平面角的余弦值；
（2）若在PD上存在一點E，使得BE⊥CE，試求AD的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過點E作PA的平行線，交AD于F，
∵PA⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，過點F作AB的平行線，交BC于G，連接EG．則FG⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，…（2分）
∵PA=4，，令EF=x，則∴
連接BF，在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²=AB²+AF²+EF²=9+3（4-x）²+x²
同理，連接CF，可得CE²=CF²+EF²=CD²+DF²+EF²=9+3x²+x²=9+4x²
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²即9+3（4-x）²+x²+9+4x²=48，解之得∴，…（5分）
從而 ，∴
所以二面角E-BC-A的平面角的余弦值為． …（6分）
（2）令EF=x，AD=a，則，
∵BE⊥CE，∴BC²=BE²+CE²則有，
整理得，…（9分）
由△≥0，得a⁴-36a²-576≥0，解得，所以． …（12分）
分析：（1）過點E作PA的平行線，交AD于F，過點F作AB的平行線，交BC于G，連接EG．則FG⊥BC，EG⊥BC，從而∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，在Rt△EFG中，利用余弦函數可求二面角E-BC-A的平面角的余弦值；
（2）令EF=x，AD=a，根據BE⊥CE，利用勾股定理可構建方程，利用方程有解，可求AD的取值范圍．
點評：本題以線面垂直為載體，考查面面角，解題的關鍵是利用面面角的定義，正確作出面面角，有一定的綜合性．